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高考數學專題復習(精選精講)練習7-立體幾何(理)習題精選精講.pdf 19頁

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應用法向量解決有關立體幾何問題 前面我們學習了用向量解決立體幾何的有關問題,可以看出,用向量求兩條異面直線所成的角,證明兩條直線平行、垂直等問題 時,有不可比擬的優越性,但在求異面直線間的距離,平行平面間的距離,直線與平面所成的角,二面角等問題時卻顯得捉襟見肘, 故而我們引入法向量來解決此類問題。 所謂法向量,指與向量或平面垂直的的向量。 ? ? ? ? ? ? 即:若n ? a ,則n 叫a 的法向量 若n ? ?,則n 叫?的法向量 一、 用法向量求異面直線間的距離 b E 如圖,a 、b 為異面直線,E、F 為異面直線上任意的兩點, ? 為 a、b 的公共法 向量,則 a、b 間 n ? n ? EF ? n F 的距離為 d ? ? a n 例1、 如圖,已知 ABCD 是正方形, PD ? 面AB CD , z P y D C A B x PD=AB=1 ,E 、E 分別是 PB 、PD 中點,求異面直線AF 與 CE 間的距離。 1 1 1 1 解析:如圖建立空間直角坐標系,則:A (1,0,0 ),B (1,1,0 ),C (0,1,0 ),P (0,0,1),E ( , , ) ,F (0,0, ) 2 2 2 2 1 1 1 1 ? AE ? (? , , ) ,CF ? (0,? 1, ) ,又設AE ,CF 的公垂線的方向向量為n ? (x , y , z ) ,則: 2 2 2

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