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線性代數-行列式(2)(3).ppt 89頁

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法2 0 答案與法1同! * 注: 1.由于r2與r3的第一個元素均為非0,因此不管r1與哪行換均是可以的;但是有時候要注意換上去的行的數字要盡量簡單點,盡量換上含數字絕對值較小的但又沒有出現分數的;  2.換行時要變號. * 總結以上各例,我們得出一般行列式化為上三角形行列式的步驟是: 然后把第一行分別乘以適當的數加到其它各行, 使第一列除第一個元素外其余元素全為0 如果第一列第一個元素為0, 先將第一行與其它行交換, 使第一列的第一個元素不為0(換行時,注意行列式外加一個負號); (性質2:ri?rj) (性質5: rj+k×ri) 互換行列式的兩(列),行列式變號. 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數然后加到另一列(行)對應的元素上去,行列式值不變. *   再用同樣的方法處理除去第一行和 第一列后余下的低一階行列式; 依次作下 去, 直至它成為上三角形行列式, 這時主 對角線上的元素的乘積就是行列式的值. 注:   如果第一列第一個元素不為0,就 不用換行;在考查低一階行列式的時候 方法同上,也要對第一列第一個元素為 0的行進行換行,方法與以上同。 * 例 計算行列式 注意第一行第一列元素為0 * 解: * * 注意:也可把行列式化為下三角行列式來計算。步驟是: 然后把第一列分別乘以適當的數加到其它各列, 使第一行除第一個元素外其余元素全為0 ; 如果第一行第一個元素為0, 先將第一列與其它列交換, 使第一行的第一個元素不為0(換列時,注意行列式外加一個負號); (性質2: ci?cj ) (性質5: cj+k×ci) 互換行列式的兩(列),行列式變號. 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數然后加到另一列(行)對應的元素上去,行列式值不變. *   再用同樣的方法處理除去第一行和第一 列后余下的低一階行列式; 依次作下去, 直 至它成為下三角形行列式, 這時主對角線上 的元素的乘積就是行列式的值.   所有的行列式都可以化為上三角行列式。因此,一般來說,大部分行列式的計算都先化為上三角行列式。但是,有時候化為下三角形行列式更為簡便。   下面利用化為下三角形行列式的方法來處理上面計算過的一道三階行列式。 其他階行列式類同。 * 答案與前同! *   并不是化為上三角行列式只能用行變換,也并不是化為下三角行列式只能用列變換。其實,不管化為上三角行列式或下三角行列式,行變換和列變換都可以結合進行。 * 例 計算行列式: 分析: 雖然第一行第一列元素不為0,但第一 列元素的數值相對比較大,為了方便計 算我們可以進行換列(或行)。分析各行和各列的特點,發現第二列的數值的絕對值相對小。因此用第二列與第一列進行互換后再進行下一步計算。 * 解: 運用上面化為上三角的方法來處理低一階行列式的時候出現了困難! 注意到第二行和第四行相同知 該行列式值為0 =0 說明: 計算行列式的時候,不管用什么方法來求解都要 注意各種方法的靈活運用。 * 前面化為上三角行列式或下三角行列式只用到了性質2和性質5。 事實上,對于比較復雜的行列式僅用這兩種方法是不夠的,需要結合利用行列式的其他性質。有些行列式的計算還需要結合利用一些技巧。下面,我們將簡單地介紹這些技巧。 互換行列式的兩(列),行列式變號. 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數然后加到另一列(行)對應的元素上去,行列式值不變. * 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 = D 例 計算 法1: 分析:各列的元素之和為一定數。 利用性質2推論第一行有公因 子9可以提到行列式外。 將2,3,4行的元素全加到第一行對應位置的元素上,得 * =9 * 一般地,可以計算下面的n階行列式 請牢記這種方法,這類題就這種做法。 * 解:把第2,3,…,n列各元素分別加到第1列對應位置 的元素上去,得 * 解:把第2,3,…,n列各元素分別 加到第1列對應位置的元素上去,得 例 計算n階行列式 屬于各列(行)元素加起來相等的類型) * * * 例 計算 階行列式 解: 例 解方程 解: 若a1 ≠0 ,解之得 x1=a1,x2=a2,…,xn-1=an-1是方程的n-1個根. 解方程首先要先求解行列式。每行只有主對角線上元素不同,把第2,…n行分別減去第一行 * (行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立). 計算行列式常用方法:(1)利用定義;(2)利用性質把行列式化為上三角形行列式,從而算得行列式的值. 三、小結 行列式的5個性質

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