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    有理數域上的多項式的因式分解.doc

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    嘉應學院 本科畢業論文(設計) (2014屆) 題 目: 有理數域上的多項式的因式分解 姓 名: 江志會 學 號: 101010100 學 院: 數學學院 專 業: 數學與應用數學 指導老師: 許鴻儒 申請學位: 學士學位 嘉應學院教務處制 摘 要 在多項式理論中,對于有理數域上多項式的因式分解的研究有著極其重要的地位。判斷一元多項式是否能因式分解是不容易的。本文根據多項式的可約性和有理根的判斷與求法的理論,探究多項式的因式分解的方法,并進行了歸納、整理和補充。字典 關鍵詞 Abstract In polynomial, the research on rational polynomial factorization has an extremely important position. Determine whether a polynomial can be factoring or not is not easy. According to the theory of irreducible polynomials and rational roots, we explore polynomial factorization method, and make some the induction, consolidation and supplements. Key words:?rational number field, reducible, factorization 目 錄 1 有理數域上的多項式基本內容 1 1.1 多項式因式分解的基本概念 1 1.2 本原多項式 2 1.3 不可約多項式的艾森斯坦判別法 5 2 多項式的有理根及因式分解 7 2.1多項式在有理數域上的性質 7 2.2多項式有理根的判定 8 2.3多項式有理根的求法及因式分解 11 2.4因式分解的特殊解法 13 參考文獻 15 1 有理數域上的多項式基本內容 1.1 多項式因式分解的基本概念 在算術中,我們已掌握了整數分解質因數的概念,如:;在此基礎上,通過類比,我們得到因式分解的一般定義: 定義1.1.1 把一個多項式化成幾個整式的積的形式,像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解,也叫做把這個多項式分解因式。 對于一個多項式能否因式分解,不能孤立的來考慮,在不同的數域內有不同的結論。 例1 分解的因式 在有理數域中,它的分解式是:,分解到這里就不能再繼續分解,不然的話,分解式的系數將超出有理數的范圍。在實數域中,它的分解式是:,分解到這里,就不能再繼續分解。在復數域中,它的分解式:。由此可見,對多項式的分解,必須先明確系數的數域,再理解其不能再分的含義。 所謂多項式在給定的數集內討論,是指多項式中的一切系數,以及自變量所取的值,都要屬于這個數集。 定義1.1.2 給定 的任何一個多項式 , 對于F 中的任何一個不為零的元素。是 的因式。 也是 的因式,我們把 的這樣的因式叫作它的平凡因式,任何一個零次多項式顯然只有平凡因式。一個次數大于零的多項式可能只有平凡因式,也可能還有其它因式(非平凡因式或真因式)。 例2 由定義可以知道只有平凡因式,有非平凡因式 因此,我們研究多項式的因式分解,只是從它能否表示成非平凡因式的積來考慮的。 1.2 本原多項式 定義1.2.1 若是一個整系數多項式系數互素,那么叫作一個本原多項式。 引理1.2.1 兩個本原多項式的乘積仍是一個本原多項式。 證 設給了兩個本原多項式 并且 如果不是本原多項式,那么一定存在一個素數,它能整除所有系數,… , 由于和都是本原多項式,所以不能整除的所有系數,也不能整除所有系數。令a和b各是和的第一個不能被整除的系數。我們考察的系數 ,們有 這等式的左端被整除。根據選擇和的條件,所有系數以及 都能被整除,因而等式右端除這一項外,其它每一項也都能被整除。因此乘積也必須被整除。但是一個素數,所以必須整除或.這與假設矛盾。 設是有理數域上的一個多項式。若是的系數不全是整數,那么以系數分母的一個公倍數乘,就得到一個整系數多項式。顯然,多項式與在有理數域上同時可約或同時不可約。這樣,在討論有理數域上多項式的可約性時,只需討論整系數多項式在有理數域上是否可約

    文檔評論(0)

    aidoc
    該用戶很懶,什么也沒介紹

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